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2019考研高等数学：证明题出题点及解题技巧分析
来源：研线网 责任编辑：superadmin 时间：2021-07-14
证明题是令很多需要考数学的考研学生头疼的题型之一，考研数学复习进入冲刺阶段，如果还是对证明题不够擅长，就需要对一些常考的考点进行重点突击。下面是历年证明题的难点及解题技巧，以供大家参考。
►题目篇
考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
1、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
2、微分中值定理的相关证明
3、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
4、不等式的证明
5、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
6、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
►方法篇
以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。那么，遇到这类的证明题，我们应该用什么方法解题呢?
1、结合几何意义记住基本原理
知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。
只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。
这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，"单调性"与"有界性"都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。
2、借助几何意义寻求证明思路
一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。
如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。
3、逆推法
从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。
在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要证的不等式。
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