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考研数学：谈二重积分的对比学习
来源：研线网 责任编辑：superadmin 时间：2021-07-22
二重积分是数一、数二、数三均要考的内容，而二重积分的性质是我们在考研过程中务必要牢牢掌握的基本知识。二重积分的性质是考研中常考的内容，它的出题形式多样化，既有独立的题目，也有融入计算的题目，题目中既有书本中所列出的二重积分的性质的考察，也有书本中没有列出的二重积分轮换对称性的等知识点的考察。
对于二重积分的相关性质和结论是我们务必要熟练掌握的知识，这方面出题大都以选择或者解答题的形式出现，多为中等难度题型。
首先，我们看二重积分的不等式性质。此性质在05年数三的真题中就出现过，当时是以选择题的形式出现的。对于积分区域相同的二重积分，它们的大小就完全由在区域上被积函数的大小来决定，函数越大，积分值就越大。
二重积分的对称性质，可分为普通对称和轮换对称。
关于普通对称：当积分区域D关于x对称，我们往往要考虑其被积函数是否为y的奇偶函数，当积分区域D关于y轴对称时，我们往往也要考虑其被积函数是否为x的奇偶函数，这样来简化二重积分的计算，当积分区域D关于原点对称，我们往往要考虑其被积函数是否是为x，y的奇偶函数。有些题目中可能积分区域对称性不是那么明显，需要我们稍微分割下来看其是否关于坐标轴对称。这种题目在09年数一，12年数二等都出现过。
关于轮换对称：对于二重积分的轮换对称时教科书上没有的知识点，但是考研中也是有此类题出现的，比如，05年的数二，就出现过用轮换对称来做的选择题。当积分区域D关于y=x对称时或者当x, y互换后，积分区域D不变时我们往往就要往轮换对称上考虑了。对于这种利用轮换对称性质来简化运算的，我们一定要掌握住，特别是数一的同学，因为在后面的三重积分、曲面积分和曲线积分中也都有坐标轮换对称性质。
另外，我们在学习二重积分的性质时，应将定积分与二重积分的概念、性质加以对比学习，比较它们的相同点与不同点，使复习更有成效。对于二重积分这一部分的内容，我们不但要会计算它，关于二重积分的有关性质我们也要很熟练的掌握。这样我们在做有关二重积分时，包括计算二重积分时，也是常常要先化简后再计算的。对于这些性质，同学们可以对做一些题目来记忆巩固。
定积分中还有定积分的几何意义，而二重积分中也有，可以参照定积分的几何意义来理解。而二重积分的比较性质，可加性质,包括被积函数的可加性和积分区域的可加性，这些性质与定积分中的可加性相仿，也可以对比学习理解。
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